Método de Sustitución

Es una técnica común para resolver sistemas de ecuaciones lineales o ecuaciones con múltiples incógnitas. Consiste en despejar una de las incógnitas en términos de la otra(s) en una de las ecuaciones y luego sustituir esta expresión en la otra ecuación para resolver el sistema.
 

Por ejemplo, consideremos el sistema de ecuaciones:

2x - y = 5

x + y = 7

sistema de ecuaciones por el método de sustitución, primero despejaremos una de las incógnitas en una de las ecuaciones y luego sustituiremos ese valor en la otra ecuación.

Empecemos con la segunda ecuación:

x + y = 7

Despejamos "x":

x = 7 - y

Ahora sustituimos este valor de "x" en la primera ecuación:

2x - y = 5

Sustituimos x:

2(7 - y) - y = 5

Expandimos y resolvemos:

14 - 2y - y = 5

14 - 3y = 5

-3y = 5 - 14

-3y = -9

Dividimos todo por -3 para despejar y:

y = 3

Ahora que tenemos el valor de "y", podemos sustituirlo en la ecuación para encontrar el valor de "x":

x = 7 - y

Sustituimos y:

x = 7 - 3

x = 4

Por lo tanto, la solución para este sistema de ecuaciones es:

x = 4

y = 3

Método De Eliminación

 Es una técnica utilizada en álgebra para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Consiste en sumar o restar las ecuaciones del sistema para eliminar una de las incógnitas y así poder resolver el sistema. Por ejemplo, si tenemos el sistema: 

2x + 3y = 10

4x - 2y = 5

sistema de ecuaciones por el método de eliminación, vamos a manipular las ecuaciones de manera que al sumarlas o restarlas se elimine una de las incógnitas.

La ecuación es:

2x - y = 5

x + y = 7

Para eliminar la variable "y", sumaremos ambas ecuaciones. Al sumarlas, la variable "y" se cancelará, lo que nos permitirá resolver para "x".

Sumamos las ecuaciones:

(2x - y) + (x + y) = 5 + 7

2x - y + x + y = 12

3x = 12

Dividimos por 3 para despejar x:

x = 4

Ahora que tenemos el valor de "x", podemos sustituirlo en una de las ecuaciones originales para encontrar el valor de "y". Usaremos la segunda ecuación:

x + y = 7

Sustituimos x:

4 + y = 7

Restamos 4 a ambos lados:

y = 3

Por lo tanto, la solución para este sistema de ecuaciones es:

x = 4

y = 3

Método De Igualación

Es otra técnica utilizada en álgebra para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Consiste en igualar las expresiones de las dos ecuaciones a una misma variable, lo que nos permite resolver el sistema al despejar esa variable. Por ejemplo, si tenemos el sistema.
 

2x + 3y = 10

4x - 2y = 5

para resolver el sistema de ecuaciones por el método de igualación, igualaremos las dos expresiones de "y" en las ecuaciones y luego resolveremos para "x".

Dadas las ecuaciones:

2x + 3y = 10

4x - 2y = 5

Primero, despejemos "y" en ambas ecuaciones:

Para la primera ecuación:

2x + 3y = 10

3y = 10 - 2x

y = (10 - 2x) /3

Para la segunda ecuación:

4x - 2y = 5

-2y = 5 - 4x

y = (5 - 4x) / (-2)

y = (4x – 5) /2

Ahora igualamos las dos expresiones para "y":

(10 - 2x) /3 = (4x - 5) /2

Multiplicamos ambos lados por el mínimo común múltiplo de los denominadores (6) para deshacernos de los denominadores:

2(10 - 2x) = 3(4x - 5)

20 - 4x = 12x - 15

Sumamos 4x a ambos lados de la ecuación:

20 = 16x -15

Sumamos 15 a ambos lados de la ecuación:

35 = 16x

Dividimos por 16 para resolver para x:

x = 35/16

Ahora que tenemos el valor de x, podemos sustituirlo en cualquiera de las ecuaciones originales para encontrar el valor de y. Usando la primera ecuación:

2(35/16) + 3y = 10

35/8 + 3y = 10

3y = 80/8 - 35/8

3y =45/8

y=15/8

Por lo tanto, la solución del sistema es:

x=35/16

y=15/8